GRUPO
HEUREMA. EDUCACIÓN SECUNDARIA
ENSEÑANZA
DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA
sección:
DIDÁCTICA DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA
VECTORES EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS.
TRANSFORMACIONES ENTRE SISTEMAS
Sistema rectangular
Se explica respecto de tres ejes
perpendiculares entre sí (X,Y,Z) que se cortan formando un triedro y sobre
los que están definidos tres vectores unitarios principales
, que se toman de modo que el triedro resulte a derechas, lo que se deduce
de la regla
. La posición de un punto P fig.1, viene determinada por
tres coordenadas (x, y, z), es decir mediante tres distancias al
punto O.
El vector de posición de un punto
P
viene determinado por
Sistema de coordenadas cilíndricas
La posición de un punto respecto
del sistema de ejes viene determinada por dos distancias y un ángulo (r,
q,
z)
y los vectores unitarios son:
,
,
, ver la fig.2
El vector unitario
, se aplica en el punto P y es paralelo al eje Z.
El vector unitario
se aplica en P y es paralelo al vector
dibujado en el plano (X,Y), estando
determinado por la proyección de P sobre el citado plano.
El vector unitario
se aplica en P y es perpendicular a los otros dos verificando
El vector de posición de un punto
P
viene determinado por
no quedando unívocamente determinado.
Relación de los sistemas de coordenadas cilíndricas y rectangulares
Se buscarán relaciones de
y
con los unitarios
pues el unitario
coincide. Trasladando
y
al plano (X, Y) fig.3, reulta:
Los vectores
y
son unitarios:
Aplicación:
·
Un punto tiene de coordenadas cartesianas P(4,
3, 2) expresar su vector de posición en coordenadas cilíndricas.
;
·
Expresar un vector
en coordenadas cilíndricas, si su
punto de aplicación está en P(4, 3, 2)
De la fig.3 se deduce fácilmente que
;
El vector de posición del punto de aplicación
del vector
que está en P que ya se calculó en la aplicación anterior:
Para expresar el vector
en coordenadas cilíndricas, hemos de calcular sus componentes en las direcciones
de los vectores unitarios,
;
;
; para lo cual vamos a calcular los productos escalares del vector
por cada uno de estos unitarios, porque el producto escalar de un vector
por otro unitario, proporciona la proyección del vector sobre la dirección
del unitario.
Compruebe que el módulo del vector es el mismo con independencia del
sistema de coordenadas en el que se exprese,
Sistema de coordenadas esféricas
La posición de un punto P
respecto del sistema de ejes, viene determinada por una distancia y dos ángulos
(r, q,
j))
y los vectores unitarios son:
;
;
, ver la fig.4.
El vector unitario
está en la dirección
El vector unitario
es perpendicular a
y su sentido es aquel en el que j
crece.
El vector unitario
es perpendicular a los dos anteriores verificando
Un punto cualquiera como P,
tiene un vector de posición que se encuentra en la dirección OP.
En coordenadas esféricas se expresa:
Indica únicamente que P
está a una distancia r
del origen, pero no determina
unívocamente su posición.
Relación de los sistemas de coordenadas esféricas y rectangulares
Se buscarán relaciones entre los
vectores unitarios:
,
,
y los
Trasladamos los vectores unitarios
al origen para mayor facilidad.
El vector
debe proyectarse previamente sobre el plano (X, Y), dirección OM,
antes de hacerlo sobre los ejes X e Y, esta proyección vale
. Para proyectar
observamos que forma con el Z un ángulo
pero también debe ser proyectado antes
sobre el plano (X, Y) y después sobre los ejes. Para proyectar
observemos que forma con el eje X,
un ángulo
.
Aplicación
·
Un punto tiene de coordenadas cartesianas P(4,
3, 2) expresar su vector de posición en coordenadas
esféricas.
;
Vamos ahora a obtener los vectores unitarios
,
,
en función de
. Es necesario observar en la fig.4,
el vector designado por
.
·
Expresar un vector
en coordenadas esféricas, si su punto
de aplicación está en P(4, 3, 2).
Calcularemos las componentes del vector
en las direcciones de los vectores
unitarios
,
,
multiplicando escalarmente el vector
, por cada uno de estos unitarios.
EXPRESIÓN DE UN VECTOR ELEMENTAL
EN DISITNTOS SISTEMAS DE REFERENCIA
La utilidad que proporciona en
Física el vector
es muy grande, pues permite calcular magnitudes como el trabajo, el potencial,
etc. y en general interviene en todos aquellos casos en los que hay que resolver
una integral de línea.
Sistema de coordenadas
cilíndricas
Si un vector tiene su origen en
un punto A
de coordenadas cilíndricas (r, q, z) y su extremos
en un punto próximo D, de coordenadas (r+dr
, q+dq,
z+dz) vamos a calcular la
expresión de un vector elemental
en el sistema de coordenadas cuyos vectores unitarios principales son
,
,
. El vector elemental
se descompone en un vector
en el plano (X, Y), que es su proyección
sobre el plano y en otro vector según Z, designado como
, fig.7.
Sistema rectangular
Si un vector
tiene su origen en el punto de
coordenadas (x, y, z) y el extremo
en el punto
(x+dx, y+dy, z+dz),
entonces se observa en
la fig. 6 que el vector se expresa:
Observamos en la fig.7, que el
vector
y que el vector
, además, del triángulo ABC se deduce que
. En consecuencia el vector
puede expresarse como suma de los vectores
del siguiente modo:
Que constituye la expresión de un vector elemental en coordenadas
cilíndricas.
Sistema de coordenadas esféricas
Sea un vector expresado en coordenadas esféricas, cuyo origen
está en el punto A (r, q,
j)
y extremo en un punto B(r+dr, q+dq, j+dj).
Queremos expresar un vector
en función de los vectores unitarios
,
,
En fig.8 se puede observar como
el vector
se descompone en la suma de tres vectores
ortogonales
, cuyos módulos son respectivamente:
Teniendo en cuenta las direcciones
de los vectores unitarios resulta:
Que constituye la expresión de
un vector elemental en coordenadas esféricas.
APLICACIÓN
- Expresión del gradiente en coordenadas
rectangulares
La diferencial total de una función escalar V en coordenadas
rectangulares es.
Pero en función del gradiente:
Sustituyendo dV
y
en coordenadas rectangulares resulta:
Identificando los dos miembros y puesto que hay un producto escalar
de vectores:
De la ecuación anterior se deduce que el operador nabla en coordenadas
rectangulares es:
- Expresión del gradiente en coordenadas
cilíndricas
La diferencial total de una función escalar V en coordenadas
cilíndricas es.
Pero en función del gradiente:
Sustituyendo dV y
en coordenadas cilíndricas resulta:
Identificando los dos miembros y puesto que hay un producto escalar
de vectores:
De la ecuación anterior se deduce que el operador nabla en cilíndricas
es:
- Expresión del gradiente en coordenadas
esféricas
La diferencial total de una función escalar V en coordenadas
esféricas es.
Pero en función del gradiente:
Sustituyendo dV y
en coordenadas esféricas resulta:
Identificando los dos miembros y puesto que hay un producto escalar
de vectores:
De la ecuación anterior se deduce que el operador nabla en esféricas
es:
