ENSEÑANZA DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CAMPOS  III

 

10. CIRCULACIÓN DEL VECTOR CAMPO: CAMPOS CONSERVATIVOS.

CONCEPTOS.

Cuando hacemos recorrer el vector campo (intensidad de un campo), a lo largo de una línea (un camino, con elemento infinitesimal ), se define la CIRCULACIÓN DE DICHO VECTOR como:          

        (19)

o sea la integral a lo largo del recorrido efectuado, del producto escalar de la intensidad del campo por el vector desplazamiento. Es una magnitud escalar por proceder de un producto escalar.

Entre dos puntos a y b sería:    (20)

Si el recorrido se efectúa sobre una línea cerrada la expresión sería: (muchas veces se reserva el nombre de CIRCULACIÓN específicamente para este recorrido, aplicando el de PROCESIÓN, cuando  es abierto).

Dado que por definición    , al sustituir en la expresión  . Al definirse el trabajo W como   , tendremos que la circulación del vector campo no es más que:

EL TRABAJO POR UNIDAD DE MAGNITUD ACTIVA

 

Vamos a aplicar los conceptos anteriores y calcular la circulación de desde A hasta B, y luego desde B hasta A en el dibujo dado (fig.42)

Si la intensidad es tal, que se mantiene constante, es evidente que al ir de A hasta B, el desplazamiento  , tendrá sentido contrario al efectuado al regresar a A, y por lo tanto siendo un producto escalar, el ángulo será suplementario, y el coseno, de signo contrario  Como su módulo es el mismo, ocurrirá que al sumarlo se anularán, siendo la circulación total nula. Los campos vectoriales en los que la circulación del vector campo a lo largo de un recorrido cerrado es nula, se denominan CAMPOS CONSERVATIVOS [1] .

Si consideramos un campo de gradientes,  como podría ser el de alturas esto es aquél en que   y lo hacemos circular a lo largo de una línea cerrada, tendríamos que , como coincide la altura final con la inicial, al ser el recorrido cerrado, C= 0, y el campo será CONSERVATIVO.  Por lo tanto todo campo cuya intensidad sea el gradiente de una función (llamada función potencial), será siempre CONSERVATIVO.      

Fig.42

¿Cómo sabremos cuándo un campo es conservativo?

a)        Si su intensidad deriva de una función potencial a través de su gradiente.

b)        Si la circulación de su intensidad no depende del camino

c)        Si la circulación de su intensidad en un recorrido cerrado es 0.

 

10.1. APLICACIÓN: DETERMINACIÓN DE UN CAMPO CONSERVATIVO

La circulación se calcularía exactamente igual que el trabajo, si la magnitud activa que crea el campo es la unidad o sea a través del proceso de integración de un producto escalar, considerando que: 

  y que  ,            mientras que

Si se realiza el producto escalar, y se separa en integrales tendremos que:

                     (21)

Al resolver cada integración, todo lo que no sea la variable será considerado constante.

 

APLICACIÓN

Ej14. Dado el campo vectorial  , determina su circulación en el paralelepípedo de la figura 43, desde O hasta A, a través de los siguientes caminos

1) OCBA                         2) OGFA.                              3) OEDA

Verificando si se trata o no de un campo conservativo.

FÓRMULA A APLICAR:

PASOS A SEGUIR:

a)   Se efectúa el producto escalar, con lo que la expresión de la circulación es

 

Fig.43

b)   Se lleva la expresión al camino tratado, y puesto que las aristas sobre los ejes X (a), Y (b) y Z(c), al integrar para estos valores produciría una circulación, para cualquiera de los recorridos dados C =  a²/2 + b²/2 + c²/2.

c)   Conclusión: SE TRATA DE UN CAMPO CONSERVATIVO (la circulación no depende del camino)

 

 

Ej15        Un cierto campo de fuerzas viene dado por la expresión . Determina el trabajo desarrollado por la fuerza al desplazarse desde el punto (0,0) al (2,2), por el camino OAB y por el OCB, justificando su carácter conservativo o  no conservativo (fig.44)

FÓRMULA A APLICAR:  .

PASOS A  SEGUIR:

a)   Se efectúa el producto escalar, con lo que la expresión de la circulación es

.          Se lleva la expresión a cada camino.

b)   En OBA.  Primero, en OB, x varía entre 0 y 2  y  y = 0, por lo que C_OB = 0.

En BA, x es constante = 2, e y varía entre 0 y 2, por lo que

Fig.44

c)   En OCA. Primero, en OC, x= 0 , e y varía entre 0 y 2, por lo que  C_OC = 0.

En CA, y es constante = 2 , y x varía entre 0 y 2, por lo que

d)   Conclusión: EL CAMPO  NO ES CONSERVATIVO porque la circulación entre O y A no es la misma por caminos distintos, o sea  depende del camino

 

 

10.2. MÉTODOS GRÁFICOS PARA  CONOCER SI UN CAMPO ES O NO CONSER-VATIVO.

Se puede calcular a través de métodos gráficos si un campo es o no conservativo, si se conoce el dibujo de la intensidad o las líneas de fuerza. Para ello se elige un recorrido cerrado, y se efectúa a lo largo de ese recorrido, la circulación del vector campo, si es nula, se tratará de un campo conservativo

Ej16        Dadas las líneas de fuerza y los vectores campos, de la figura 45, justifica si se trata o no de un campo conservativo.

PASOS A SEGUIR:

a)   Siguiendo los ejemplos anteriores, se realizan las circulaciones parciales, eliminando las que se anulan, por ser perpendiculares intensidades y desplazamientos.

b)   Si los caminos son iguales, observaríamos que la circulación total nunca sería nula, por lo que el campo NO SERÍA CONSERVATIVO.

 

Ej17.       ¿Será conservativo un campo radial divergente creado por  una magnitud activa puntual, como el dado por la  figura 46?

PASOS A SEGUIR:

a)   Se busca un itinerario para hacer circular el vector campo, en este caso al ser radial es conveniente elegir circunferencias, para eliminar la circulación en dichos tramos, ya que al ser radial ,  y  son perpendiculares en esos tramos (BC y DA) y su producto escalar es nulo.

b)   La circulación sólo no se anula en los tramos AB y  CD. En AB, el vector campo y el desplazamiento forman un ángulo de 0º, mientras que en CD, el ángulo es de 180º, y su coseno -1. Por este motivo, la circulación total es nula, y el campo CONSERVATIVO.

 

Ej18        Comprobar que el campo gravitatorio es conservativo, a través de la constancia de la circulación entre O (0,0) y B(2,2), por los dos caminos dados (fig.47).

PASOS A SEGUIR:

a)   Dado que la intensidad del campo gravitatorio es -g j .

Por el camino inferior OAB:       

b)   Por el camino superior OB:         , tendremos el mismo resultado anterior.

c)   Conclusión el campo es CONSERVATIVO.

Fig.45

Fig.46

Fig.47

Cuando un campo es conservativo ¿Qué se conserva? Sencillamente la energía mecánica, que sólo se va transformando, de tal forma que no dependa del camino empleado en dicha transformación, las fuerzas del campo son FUERZAS CONSERVATIVAS. Es evidente que en la realidad existen fuerzas que disipan la energía: FUERZAS DISIPATIVAS, en este caso si se consideraran no se comportaría como campo conservativo. En la realidad el campo gravitatorio, debido al rozamiento con fluidos, no sería conservativo; sólo en el vacío. Conviene tener en cuenta que la energía térmica, es una forma de energía mecánica, pues se debe al movimiento caótico de las moléculas, y por lo tanto la conversión en energía interna de un sistema, o energía cinética interna, no produce efectos disipativos, actuando el campo de forma conservativa.

Fig.48

Ej19.       ¿Las fuerzas centrales son conservativas?

CONSIDERACIONES

Un cuerpo sometido a fuerza centrales, y por lo tanto con una aceleración centrípeta, puede describir un movimiento circular (simplificado), o elíptico, como ocurre con el electrón en el átomo de hidrógeno, o la Tierra alrededor del Sol (fig.49)

PASOS A SEGUIR

a)   Se dibuja la trayectoria circular, y la aceleración normal. La fuerza actuante es perpendicular por dicho motivo en cada instante a la trayectoria.

b)   El desplazamiento infinitesimal a lo largo de dicha trayectoria,  tangente a la trayectoria, en cada instante, es perpendicular a dicha fuerza central.

c)   Como  , y el ángulo formado por los vectores es de 90º, su coseno es 0, con lo cual W=0. Por lo tanto las fuerzas centrales no hacen trabajo, la circulación a lo largo de la circunferencia es nula  y las fuerzas serán conservativas. 

Fig.49

10.3. OTROS PROCEDIMIENTOS PARA CONOCER SI UN CAMPO ES CONSERVATIVO: EL ROTACIONAL DE UN CAMPO

La determinación del carácter conservativo de un campo, implica el cálculo de la circulación o del trabajo, por dos caminos diferentes o en una trayectoria cerrada, lo cual implica si la intensidad es variable, un desarrollo integral. Ahora bien, existe un operador matemático denominado ROTACIONAL, que lo simplifica: El ROTACIONAL DE UN CAMPO [2] se define como:

             (22)

esto es el producto vectorial del nabla por la intensidad del campo.

Por otra parte, el rotacional hace referencia a la circulación del vector campo a lo largo de una trayectoria cerrada que encierra determinada superficie, por lo que 

                                            (23)               

Esta es la expresión más simple del teorema de Stokes, que permite calcular la circulación de otra forma. Lo interesante es que si la circulación es 0 (campo conservativo), el  ROTACIONAL TAMBIÉN LO SERÁ, por lo que se puede definir un campo conservativo como aquél cuyo ROTACIONAL ES NULO;   (24), también llamada irrotacional.

Al hacer el producto vectorial del nabla      por la intensidad del campo

    e igualar a 0 cada componente, nos queda  como condición de CAMPO CONSERVATIVO que:     

                                       (25)

Dicho en otras palabras las "derivadas cruzadas deben ser iguales". Para que se cumpla esta condición de conservativo, deberán darse las tres igualdades, en el caso de existir 3 componentes. Por todo lo dicho los campos CONSERVATIVOS, también reciben el nombre de IRROTACIONALES, mientras que los NO CONSERVATIVOS, lo son ROTACIONALES, como el magnético. En estos campos, la intensidad depende del llamado potencial vector A [3] , de forma que  [4]

APLICACIÓN

Ej20.       Dado el campo , demuestra que es conservativo

CONSIDERACIÓN PREVIA: Todo lo que no sea la variable respecto a la que se deriva SE CONSIDERARÁ CONSTANTE

PASOS A SEGUIR:

a)   Se aislan las componentes del campo:  I_x = (4xy - 3x²z²) ;    I_y   =  2x²    ; I_z = - 2x³z

b)   Derivada de la componente x del campo respecto a y, será igual a la derivada de la componente y del campo respecto a x, o sea      4x = 4x

c)   Derivada de la componente x del campo respecto a z, será igual a la derivada de la componente z del campo respecto a x, o sea    -6x²z = -6x²z

d)   Derivada de la componente y del campo respecto a z, será igual a la derivada de la componente z del campo respecto a y, o sea     0= 0

e)   Por lo tanto como se producen las tres igualdades, el campo SERÁ CONSERVATIVO.

En el caso de no hacerlo así, se tendría que hacer circular el vector campo, por dos caminos diferentes y determinar que la circulación no depende del camino, esto es como en el ejemplo 12.

 

Ej21.       Dado el campo , determinar los valores de a,b y c, para que el campo sea conservativo.

PASOS A SEGUIR:

a)   Se aislan las componentes del campo:  F_x = x + 2y + az ;    F_y   =  bx - 3y - z     

F_z = 4x + cy + 2z

b)   Se derivan parcialmente de forma "cruzada", tal como en el caso anterior, igualando las expresiones. Así :            a = 4       b = 2       c = -1

c)   Se podría sustituir y comprobar si se trata o no de un campo conservativo:

Calculando el trabajo por dos caminos diferentes, siguiendo el esquema del ejemplo 12. Por ejemplo, calculando el trabajo para ir de O hasta E, supuesto el lado del cubo igual a 1 (fig.50)

Fig.50

Como Camino1 : OCDE

En  OC , x=0 , z= 0 e y varía entre 0 y 1;  por lo que

 En  CD , y=1 = cte ; (dy=0), x=0  y z varía entre 0 y 1, por lo que 

En  DE,  y=1= cte (dy=0) , z=1= cte (dz=0) , y x varía entre 0 y 1, por lo que: .     El trabajo total será -1,5 + 6,5 + 0 = 5 u. de trabajo.

Camino 2 : OABE

En  OA,  y=0  , z=0 , y x varía entre 0 y 1  por lo que

 En  AB , x=1= cte ( dx=0) , z= 0 e y varía entre 0 y 1;  por lo que

En  BE , y=1 = cte ; (dy=0), x=1 (dx=0)  y z varía entre 0 y 1, por lo que 

 El trabajo total será 0,5 + 0,5 + 3 = 5 u. de trabajo. EL CAMPO ES CONSERVATIVO.

Hemos visto que todo campo cuya intensidad sea el gradiente de una función escalar, denominada función potencial o simplemente potencial V, es un campo conservativo. Por lo tanto si , vamos a demostrar que este campo cumple que

a)  Desde el punto de vista del producto vectorial . Porque el nabla y el -nabla de V, forman un ángulo de 180º, cuyo seno  vale 0.

b)  Si se realiza el producto vectorial a través del determinante respectivo, se observará que tiene dos filas iguales, por lo que también debe valer 0.

En consecuencia : TODO CAMPO CONSERVATIVO TIENE UNA INTENSIDAD QUE ES EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN  POTENCIAL CON EL SIGNO CONTRARIO  (convenio de signos).

 

10.4. EL OPERADOR DIVERGENCIA Y LOS CAMPOS CONSERVATIVOS

Si  en un campo conservativo ¿Cuánto vale su divergencia y qué significado tiene?

La operación . Esta operación, prescindiendo del signo, se denomina actualmente laplaciana [5] y se puede  expresar como :

Se ha visto que

a) Para campos divergentes (ELÉCTRICO)                                       o    

b) Para campos convergentes (GRAVITATORIO)                            o  

 

Al aplicar el concepto de laplaciana, y sustituyendo k:

Para campos divergentes, como el creado por la carga positiva,    [6]

Teniendo en cuenta que

Si lo creara la carga negativa, cambiaría de signo

Para campos divergentes, como el creado por la masa, 

Estas ecuaciones se denominan de Poisson.

 

En regiones donde no existe magnitud activa, y por lo tanto la densidad volúmica , es nula, las ecuaciones anteriores de Poisson, se transforman en , que se conoce como ecuación de Laplace.

Actualmente el operador  laplaciano,  o divergencia del gradiente , se puede simbolizar por , aunque pueda confundirse con el de incremento.

11. POTENCIAL [7] DE UN CAMPO CONSERVATIVO

Hemos visto que , lo que en campos radiales, esto es, aquellos creados por magnitudes activas puntuales, se podría disponer  , lo cual nos dará la diferencia de potencial entre dos puntos, uno de ellos el de referencia O.

Como   y , pero como , la diferencia de potencial entre dos puntos a y b sería el TRABAJO PARA LLEVAR LA UNIDAD DE MAGNITUD ACTIVA DE UN PUNTO DE REFERENCIA O a OTRO, PERO CON EL SIGNO CONTRARIO. (A = 1).

Para determinar el potencial en un punto, conviene tomar una referencia 0, esto es un punto en el que el potencial sea 0, o donde las interacciones sean nulas; este punto es el infinito. Por este motivo y teniendo en cuenta que tiene un signo menos delante, supone una inversión en los límites de la integración, se podría definir el potencial en un punto como:

EL TRABAJO PARA LLEVAR LA UNIDAD DE MAGNITUD ACTIVA DESDE EL INFINITO AL PUNTO y coincide con  la energía potencial en ese punto

LA ENERGÍA POTENCIAL ES IGUAL AL POTENCIAL  por la CANTIDAD DE MAGNITUD ACTIVA (Ep = A.V).

Por lo tanto el trabajo para llevar una determinada cantidad de magnitud activa desde A hasta B, correspondería a  .

Cambiando los signos: W =   AV_A - AV_B   = Energía potencial inicial – Energía potencial final. (26)

Por lo general esa cantidad de magnitud activa que se sitúa en un campo, para comprobar sus efectos, y que es independiente de la creadora del campo, es lo que se denomina MAGNITUD  ACTIVA DE PRUEBA, y que en el campo eléctrico sería la CARGA DE PRUEBA (siempre refiriéndose a carga positiva). Suele ser pequeña, y en el límite hace referencia a la unidad de magnitud activa.

Las líneas y superficies en las que el potencial del campo es constante, se denominan LÍNEAS DE POTENCIAL y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES, respectivamente.

 

En los campos newtonianos (fuerza de interacción inversamente proporcional al cuadrado de la distancia), es muy fácil determinar la función potencial, debido a  su simetría radial (magnitudes activas puntuales o consideradas como puntuales). Así  , como   , 

 (28)

 que producirá, una vez realizado el producto escalar y la integral una expresión del potencial:

  (29)

a)  Si el campo es DIVERGENTE, como el ELÉCTRICO,  (A= q>0 ), (30) en Voltio o J C^-1

b)  Si el campo es CONVERGENTE, como el GRAVITATORIO,   (A= m, k = -G) ,

  (31)       en  N.m kg^-1  o J kg^-1

 

c)         Si el campo es CONVERGENTE, como el ELÉCTRICO (A = q<0 ),                                         

En todo caso para una determinada cantidad de magnitud activa la expresión V. = cte, lo cual en gráficas (V, r) , corresponde a una HIPÉRBOLA EQUILÁTERA (fig. 51 y 52)

Fig.51

Fig.52

Como únicamente dependen del radio, las líneas de igual potencial o líneas de potencial (líneas isotímicas) serán CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS.

 

            ¿Qué diferencias hay entre las variaciones del potencial  y las del campo respecto a la distancia en el campo eléctrico para distribuciones de magnitudes activas puntuales o esféricas?

Se podrían determinar las pendientes respectivas a partir de las expresiones V  = kq  y Er²=kq

En la gráfica (V, r)                 Vdr + rdV = 0 , de lo que dV/dr = - V/r  (que sería la pendiente)

En la gráfica (E, r)                 r²dE + 2rdrE=0, de lo que dE/dr = - 2 E/r (que sería la pendiente).

como E=-dV/dr,                    dE/dr = 2/r(dV/dr), que sería la relación entre ambas pendientes.

 

 

11.1. DIFERENCIA DE POTENCIAL. CÁLCULO GRÁFICO

La diferencia de potencial entre dos puntos A y B, para distribuciones de magnitudes activas puntuales o esféricas se podría calcular fácilmente a partir de las propias gráficas:

APLICACIÓN

Ej.22. En las gráficas dadas calcula la diferencia de potencial entre los puntos A y B, separados una distancia de 2m.

Para la gráfica 53 (potencial creado por un conductor con carga positiva q, de radio R), la diferencia de potencial entre los puntos A y B, separados 2 metros será: V_B-V_A=20-40=-20V

Mientras que en la gráfica 54 (potencial creado por una masa M, o una carga negativa q), la diferencia de potencial ente los puntos A y B, separados 2m, será: -20-(-40)=20V o 20Jkg^-1.

Fig.53

Fig.54

Ej. 23. Relación entre las gráficas (V, r ) y (E, r), para el campo eléctrico creado por un conductor esférico de radio R=2m , con carga superficial q. Comprobar su relación y determinar  gráficamente el campo y el potencial a los 4m.

 

En la gráfica (V, r) debido al campo creado por un conductor esférico de radio R=2m con carga superficial q, la pendiente para r>R dV/dr, nos daría la intensidad del campo con el signo cambiado, al ser un campo conservativo, E=- dV/dr.

 

Por lo tanto trazando la tangente en un punto (4m), (fig.55) podríamos conocer la intensidad del campo en dicho punto:

 -(-70J/C/9m)= 7,8N/C.

En la gráfica (E, r), dado que V = -I E dr , la diferencia de potencial entre dos puntos sería el área abarcada entre ellos, en este caso, entre 2 y 4m, es de 40V (fig.56) que coincide con la diferencia de potencial entre 2 y 4 metros en la gráfica (V, r) de la fig.55.                                                                                                  

Fig.55

Fig.56

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